A álgebra introduziu na geometria os princípios naturais da divisão e a natural hierarquia do método. Através dela as questões de solvabilidade e possibilidade geométricas podem ser resolvidas de forma rápida e elegante, pois sem ela não podem ser decididas de modo algum.

     O grande avanço feito por René foi criar uma fórmula algébrica garantido que um ponto em uma folha de papel retangular está infalivelmente, como é evidente, onde as duas linhas de suas duas distancias medidas perpendicularmente a duas  margens adjacentes da folha, se encontram. Na linguagem geométrica, um ponto em um plano pode ser representado pelos valores das suas duas distâncias (x, y) tomadas perpendicularmente a dois eixos que se cruzam em ângulo reto nesse plano, com a convenção de lado positivo e negativo para um e outro lado do ponto de cruzamento dos eixos. Então uma equação f(x,y) = 0 pode ser satisfeita por um infinito número de valores de x e y. O importante é que esses valores de x e y podem representar as coordenadas de vários pontos de uma curva, da qual a equação f(x,y) = 0 expressa alguma propriedade geométrica, isto é, a propriedade verdadeira da curva em cada ponto dela. Exemplificando: O gráfico da função f(x) = x² consiste de todos os pares (x, y) tais que y = x², ou seja, é a coleção de todos os pares (x, x²), como (1,1), (2, 4), (-1, 1), (-3, 9), etc. A curva resulta ser uma parábola.

     Qualquer propriedade particular desta curva pode ser deduzida da equação, sem a necessidade de se fazer o desenho da curva para que possa encontrar os pontos graficamente, e duas ou mais curvas podem ser referidas a um e mesmo sistema de coordenadas; o ponto no qual duas curvas intersectam é determinado pela raiz comum às suas duas equações. E isto é geometria analítica, sua invenção.